Ich verwende GMAIl in Safari (im Rahmen von G Suite / Google Workspace). Leider erhalte ich so keine akustischen Signale beim Eingehen neuer E-Mails. Also z.B. ein Menüleisten-Programm.

Bedingung: Dritte dürfen keinen Zugang auf meine E-Mails erhalten. Es gab da mal MailTab Pro. Ob das sicher war, weiß ich nicht. Ist aber auch ewig nicht aktualisiert worden.

Wunsch: Freie Festlegung des Ton-Signals (durch eigene Tondatei)

Die einfachste Variante:
Gmail in Apple Mail einrichten, da kannst Du einen Ton definieren. Wenn Mail gestartet ist, gibt's Musik, sonst nicht. Ist ja egal, ob man die Mail dann im Browser liest.
Alternative: Mail auf dem Handy einrichten und auf Push oder automatisch abholen stellen.

Auf beiden kann man die Textbenachrichtigungen ausschalten, dann stört nix.

Vielleicht ist Mailplane was für dich:
Auf Gmail spezialisierter "lokaler Client" (in Anführungszeichen deswegen um zu betonen, dass es eine lokale Software ist, kein Rerouting der Emails stattfindet; letztendlich ist es aber eine Browser-basierte Email Bearbeitung (wenn man so will kein vollwertiger, echter lokaler Client wie Mail.app; also so wie du es in Safari usw. gewohnt bist). Menubar Icon dabei. Ton kann definiert werden aus vordefinierter Menge (immerhin). Kein verkorkstes Emailprogramm mit "Zugriff Dritter" wie es leider heutzutage immer öfter vorkommt (meine Vermutung: die meisten "normalen Benutzer" wissen gar nicht, dass ihre Emails quasi ge-re-routet werden über die Server solcher Email-Client-Anbieter).