Wir haben einen iMac (27" von Mitte 2010, mit High Sierra), der wird morgens angeschaltet um uns tagsüber mit Musik aus unserer (iTunes-)Mediathek zu bedudeln und abends schauen wir damit Filme. Danach wird der wieder ausgeschaltet.

Seit ein paar Tagen - und erst seit ein paar Tagen - kommt nach Ende des Startvorgangs ein Fenster in dem nach dem Passwort für iMessage gefragt wird.
(Ich nutze und brauche iMessage auf dem Rechner nicht, der ist nur Musikspeicher und -lieferant. Die App ist auch nicht in "Startobjekte".)

Gebe ich das PW für meine Apfel-ID ein ist das falsch, sagt das Betrübsystem.
(Ich klick dann auf "abbrechen". Das Fenster verschwindet - klarerweise - bis zum nächsten Morgen, wenn der Rechner wieder angeschaltet wird.)

Öffne ich danach iTunes um unsere Musik zu hören und checke da ob ich mit der Apfel-ID angemeldet bin, ja bin ich.

Das System wurde seit Wochen (Monate? Jahre?) nicht angefasst. Der Rechner wurde morgens angeschaltet, Musik gehört, abends Filme geguckt, ausgeschaltet.
Monate lang - die letzten Jahre ohne daß dieses Anmeldefenster aufgetaucht ist.
(Als einziges wurde hin und wieder Firefox aktualisier, weil wir den fürs Streaming bei den üblichen Verdächtigen nutzen.)

Ich versteh das alles nicht.

Also nicht nur das neuerdings erscheinende Anmeldefenster.
Sondern auch noch eine andere Sache - und da wird es ziemlich spooky für mich. Im Benutzerordner (iMac) unter Library>Messages>Archive finden sich alle Daten die auch auf meinem MacBook an selber Stelle sind - und ja, mit dem MacBook nutze ich iMessages bzw. Nahrichten (täglich), auf dem iMac habe ich iMessages/Nachrichten nie benutz.

Kann es sein, daß ich die Bestätigung des englische Sprichwortes bin: It´s always the nut behind the wheel?
Übersetzt: Was hat der Depp an der Maus da angerichtet? Und wie bekommt der Depp dieses Anmeldefenster weg?
Fragen über Fragen...

Bitte. Holt. Mich. Da. Raus.

Ist denn in Nachrichten eine Apple-ID registriert? Einfach mal auf Abmelden klicken.

Danke für die Zeit.
Ich habe gerade mal auf dem iMac die App Nachrichten gestartet.
Es kam ein Anmeldefenster um Nachrichten einzurichten. Das habe ich weg geklickt.
Dann öffnete sich ein Fenster von Nachrichten, einfach so, ohne anmelden. Darin waren Konversationen aus grauer Vorzeit.
Also muß der Depp diesen Rechner irgendwann mal auch zum "Nachrichten auch hier drauf" verwendet haben.
Abmelden geht nicht. Sag ich mal ganz frech, weil ich nix zum Abmelden gefunden habe, nur zum "Beenden" (der App).
Ich glaube ich habe da irgendwo früher irgendeinen Pfusch gemacht der mir gerade auf die Füße fällt.
Warum da jetzt (erst) seit Tagen dieses Anmeldefenster kommt wird vermutlich ewig ein Geheimnis bleiben.
Ah, es kann damit zusammen hängen, daß ich vor ein paar Tagen an meinem Eifon den Akku habe wechseln lassen. Danach musste ich das Teil irgendwie wieder in Verbindung zu meinem MacBook bringen (wg. Nachrichten), einbinden, bla. Zeitlich könnte das hinkommen.
Ich klick dieses Anmeldefenster einfach weg. Ist am einfachsten.
Dem Murks von mir werden wir eh nicht mehr auf die Spur kommen...

Abmelden geht bei neueren Systemen in den Einstellungen (Cmd-Komma). Evtl. auch mal unter Accounts in den Systemeinstellungen schauen.

hast du evtl die gleiche AppleID auf dem neueren Mac, mit Kontaktschlüsselbestätigung oder erweitertem Datenschutz im Einsatz?

Das war bei mir der Fall, als ich ähnliche Symptome auf einem 2011 iMac 27" mit High Sierra hatte.Schlussendlich hab ich mich damit abgefunden, weil ich nicht auf die Sicherheitsfunktionen verzichten wollte.