Seit ein paar Tagen habe ich Probleme beim Back up wenn ich mein iPhone 6 an den iMac anschließe und das Programm iTunes öffne. Dann fängt iTunes sofort an ein Back up vom iPhone zu machen. Und jedes Mal hängt es sich auf beim Schritt 2 von 7. Und zwar so massiv, dass dann überhaupt nichts mehr geht mit meinem iMac. Es erscheint das bunte Rädchen und das war es dann. Egal was ich dann noch machen möchte, es dauert Minuten bis irgendein anderen Programm reagiert. Was ich mir schon überlegt habe, ob es eventuell mit der mangelnden Festplattenkapazität einer meiner Speicher zu tun haben könnte. Außer dem internen Speicher habe ich noch zwei weitere Festplatten am iMac hängen. Davon ist eine nur für die Backups zuständig. Von 1.5TB sind aktuell nur noch 38GB frei. Von der internen Festplatte vermutlich nur noch 20.54GB laut Anzeige (siehe Foto). Dafür ist aber auf der ersten von den zwei Festplatten mit 1TB noch 326GB frei. Sollte das Programm also Stress haben mit dem internen Speicher, könnte es ja auf die 1. Festplatte ausweichen wo noch genügend Speicher frei ist.

Das Problem liegt wahrscheinlich wirklich am Speicher. Jedoch hat der deiner TM-Festplatte nichts damit zu tun. Diese ist lediglich für die Time-Machine Backups deiner internen Festplatte zuständig. Das Backup des iPhones wird jedoch auf der internen gespeichert (wo genau weiß ich auch nicht - ist aber meines Wissens auch versteckt). Und ausweichen wird iTunes hier sicherlich nicht!
Genauso wenig wird TM auf die automatisch auf die zweite Festplatte umschalten, wenn die erste voll ist. TM löscht hier die ältesten Backups. (du kannst es jedoch so einstellen, dass du zuvor benachrichtigt wirst). Dies Nur so am Rande, da dies wahrscheinlich ziemlich bald der Fall sein wird.

Deine interne Festplatte ist fast voll - ich würde hier versuchen Daten zu löschen/auszulagern (bspw. auf die MyBook-Platte oder eine neue). Daneben kannst du ja auch mal in iTunes unter Einstellungen - Geräte nachsehen. Hier können sich unter Umständen mehrere Backups angesammelt haben, die auch möglicherweise viel Speicherplatz benötigen. Hier einfach nicht benötigte/uralte Backups entfernen.
Eine andere Möglichkeit ist allerdings auch noch, dass deine Festplatte zu langsam ist oder langsam den Geist aufgibt. Oder aber auch dein System läuft nicht ganz flüssig.
Hast du eine HDD oder SSD - außerdem welchen iMac hast du denn?
Welche OSX, iTunes und iOS version verwendest du denn?

Also ich habe die Version OSX 10.8.5
Der i Mac ist von 2010, ein Alu mit 27 Zoll und 500GB Festplatte
Den Cache im iTunes habe ich gerade geleert. Hat aber leider nichts genützt.
Beide Festplatten sind von WD My Book
Das iTunes ist 12.3.1.23
iPhone ist 9.1

Ok - das Problem wird aber eher woanders liegen:
wie du hier schon angedeutet hast: Deine Festplatte gehört auf jeden Fall entrümpelt. Der Mac hat ja schon gemeldet, dass die Festplatte voll sei!
Dann wäre noch eine Möglichkeit evtl. neben/statt der internen Festplatte eine SSD einzubauen (lassen). Und nach dem Foto hat die interne Festplatte einen Speicher von 1TB nicht 500GB?

Und der Mac legt Daten von sich aus nie auf einer externen Festplatte automatisch ab (TM mal ausgenommen - das ist aber so gewünscht!). Denn was ist, wenn hier für den Betrieb wichtige Daten liegen und die Festplatte mal nicht angesteckt ist? Dann kannst du den Mac nicht verwenden.